미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

세 항 점화식의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 {a1=p,a2=q3an+2=2an+1+an(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle {\begin{cases} a _{1} = p , a _{2} = q _{{} _{{} _{}}} \\ 3 a _{n + 2} = 2 a _{n + 1} + a _{n} ^{{} ^{{} _{}}} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{cases}} 으로 정의할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? (단, pp, qq는 서로 다른 실수이다.) [4점] ①p+q2\displaystyle \frac{p + q}{2}②2p+q3\displaystyle \frac{2 p + q}{3}③p+2q3\displaystyle \frac{p + 2 q}{3}④3p+q4\displaystyle \frac{3 p + q}{4}⑤p+3q4\displaystyle \frac{p + 3 q}{4}

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⑤

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용한 극한 문제 해결하기 3an+2=2an+1+an3 a _{n + 2} = 2 a _{n + 1} + a _{n} 3an+2−3an+1=−an+1+an3 a _{n + 2} - 3 a _{n + 1} = - a _{n + 1} + a _{n} an+2−an+1=−13(an+1−an)\displaystyle a _{n + 2} - a _{n + 1} = - \frac{1}{3} ( a _{n + 1} - a _{n} ) an=p+∑k=1n−1(q−p)(−13)k−1\displaystyle a _{n} = p + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( q - p ) \left( - \frac{1}{3} \right) ^{k - 1} ∴lim⁡n→∞an=p+q−p1−(−13)=p+3q4\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = p + \frac{q - p}{1 - \left( - \frac{1}{3} \right)} = \frac{p + 3 q}{4}

태그

#점화식#등비수열

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