세 구 중심 평면 이면각

점 $A , B , C$를 평면 $\alpha$위로 정사영시킨 점을 각각 $A' , B' , C'$라 하자. 또한 점$A$를 선분 $BB'$, 선분 $CC'$위로 정사영시킨 점을 각각 $P , R$이라 하고, 점$B$를 선분 $CC'$위로 정사영시킨 점을 $Q$라고 할 때, 세 개의 구가 서로 외접하므로 $AB = 2 + 4 = 6$ , $BC = 4 + 8 = 12$ , $CA = 8 + 2 = 10$ 이다.

세 구가 평면 $\alpha$위에 있으므로 $BP = 4 - 2 = 2$ , $OQ = 8 - 4 = 4$ , $CR = 8 - 2 = 6$ 이다 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle A' B' = AP = \sqrt{6 ^{2} - 2 ^{2}} = 4 \sqrt{2}$ $\displaystyle B' C' = BQ = \sqrt{12 ^{2} - 4 ^{2}} = 8 \sqrt{2}$ $\displaystyle C' A' = RA = \sqrt{10 ^{2} - 6 ^{2}} = 8$ 이다 제이코사인법칙에 의해 $\displaystyle \cos B = \frac{6 ^{2} + 12 ^{2} - 10 ^{2}}{2 \times 6 \times 12} = \frac{5}{9}$ $\displaystyle \cos B' = \frac{( 4 \sqrt{2} ) ^{2} + ( 8 \sqrt{2} ) ^{2} - 8 ^{2}}{2 \times 4 \sqrt{2} \times 8 \sqrt{2}} = \frac{3}{4}$ $\displaystyle \triangle ABC = \frac{1}{2} \bullet 6 \bullet 12 \bullet \sqrt{1 - \left( \frac{5}{9} \right) ^{2}} = 8 \sqrt{14}$ $\displaystyle \triangle A' B' C' = \frac{1}{2} \bullet 4 \sqrt{2} \bullet 8 \sqrt{2} \bullet \sqrt{1 - \left( \frac{3}{4} \right) ^{2}} = 8 \sqrt{7}$ $\displaystyle \therefore \cos \theta = \frac{8 \sqrt{7}}{8 \sqrt{14}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ 따라서 $a = 1 , b = 2$이므로 $a + b = 3$이다.