세 변수의 제곱의 합의 최솟값

코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $( 1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} ) ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) \geq ( x + 2 y + 3 z ) ^{2}$ $14 ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) \geq 14 ^{2}$이므로 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \geq 14$ 등호는 $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$일 때 성립하고, $x + 2 y + 3 z = 14$에서 $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$이다. 이때 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 1 + 4 + 9 = 14$ 따라서 최솟값은 $14$ ③