산술평균 조건으로 세 직선이 한 점에서 만나는 경우 세기

실마리: 세 직선의 기울기 $1$, $2$, $3$이 모두 다르므로 평행한 두 직선은 없고, 삼각형을 이루지 않는 것은 세 직선이 한 점에서 만날 때뿐이다. 두 직선 $y = x + a$, $y = 2 x + b$의 교점은 $x + a = 2 x + b$에서 $x = a - b$, $y = 2 a - b$ 직선 $y = 3 x + c$가 점 $\left( a - b , 2 a - b \right)$를 지나므로 $2 a - b = 3 \left( a - b \right) + c$ $a + c = 2 b$ 즉 $b$는 $a$와 $c$의 산술평균이다. $a + c = 2 b$가 되려면 $a + c$가 짝수, 즉 $a$와 $c$의 홀짝이 같아야 하고, 이때 $\displaystyle b = \frac{a + c}{2}$는 $1$ 이상 $10$ 이하의 자연수로 하나로 정해진다. ($2 \leq a + c \leq 20$) $a$, $c$가 모두 홀수인 순서쌍: $5 \times 5 = 25$개 $a$, $c$가 모두 짝수인 순서쌍: $5 \times 5 = 25$개 (검산: $\left( a , b , c \right) = \left( 1 , 3 , 5 \right)$이면 $y = x + 1$, $y = 2 x + 3$의 교점 $\left( - 2 , - 1 \right)$에서 $3 \cdot \left( - 2 \right) + 5 = - 1$이므로 세 직선이 한 점에서 만난다.) 따라서 순서쌍의 개수는 $25 + 25 = 50$