공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

산술기하평균 최솟값

문제

a>1a > 1일 때, 9a+1a−1\displaystyle 9 a + \frac{1}{a - 1}의 최솟값을 구하시오. [3점]

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15

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해설

[출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기 a>1a > 1이므로 a−1>0a - 1 > 0이다. 절대부등식의 성질에 의해 9a+1a−1=9(a−1)+1a−1+9\displaystyle 9 a + \frac{1}{a - 1} = 9 \left( a - 1 \right) + \frac{1}{a - 1} + 9 ≥29(a−1)×1a−1+9=2×3+9=15\displaystyle \geq 2 \sqrt{9 \left( a - 1 \right) \times \frac{1}{a - 1}} + 9 = 2 \times 3 + 9 = 15 (단, 등호는 a=43\displaystyle a = \frac{4}{3}일 때 성립한다.) 이므로 9a+1a−1\displaystyle 9 a + \frac{1}{a - 1}의 최솟값은 1515이다.

태그

#산술기하평균#절대부등식

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