공통수학2명제수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

산술기하평균 최솟값

문제

실수 x,yx , y에 대하여 x>0x > 0, xy(x+y+2)=32xy ( x + y + 2 ) = 32일 때, (x+y)(y+2)( x + y ) ( y + 2 )의 최솟값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 절대부등식의 성질을 이용하여 수학 내적문제 해결하기 (x+y)(y+2)=xy+2x+y2+2y=y(x+y+2)+2x=32x+2x≥232x2x=16(∵x>0)\displaystyle \begin{aligned} ( x + y ) ( y + 2 ) & = xy + 2 x + y ^{2} + 2 y \\ & = y ( x + y + 2 ) + 2 x \\ & = \frac{32}{x} + 2 x \\ & \geq 2 \sqrt{\frac{32}{x} 2 x} = 16 ( \because x > 0 ) \end{aligned} (단, 등호는 x=4x = 4일 때 성립한다)

태그

#산술기하평균#절대부등식

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