공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

산술기하평균 최솟값

문제

두 양의 실수 $a$ , $b$ 에 대하여 두 일차함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{a}{2} x - \frac{1}{2}$ , $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{b} x + 1$ 이 있다. 직선 $y = f \left( x \right)$ 와 직선 $y = g \left( x \right)$ 가 서로 평행할 때, $\left( a + 1 \right) \left( b + 2 \right)$ 의 최솟값을 구하시오. [3점]

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[출제의도] 절대부등식 이해하기 두 직선 $y = f \left( x \right)$ , $y = g \left( x \right)$ 의 기울기가 각각 $\displaystyle \frac{a}{2}$ , $\displaystyle \frac{1}{b}$ 이고 두 직선이 서로 평행하므로 $\displaystyle \frac{a}{2} = \frac{1}{b}$ 에서 $ab = 2$ 이다. $\left( a + 1 \right) \left( b + 2 \right) = ab + 2 a + b + 2 = 4 + 2 a + b$ $a > 0$ , $b > 0$ 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle 2 a + b \geq 2 \sqrt{2 ab} = 4$ (단, 등호는 $2 a = b$ 일 때 성립) 따라서 $\left( a + 1 \right) \left( b + 2 \right)$ 의 최솟값은 $8$

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