산술기하평균

[출제의도] 절대부등식 이해하기 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = b$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ab$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} ab = 16$, $ab = 32$ 선분 $\mathrm{AB}$가 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 빗변이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = a ^{2} + b ^{2}$ $a ^{2} > 0$, $b ^{2} > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq \sqrt{a ^{2} b ^{2}}$ (단, 등호는 $a ^{2} = b ^{2}$일 때 성립) $a ^{2} + b ^{2} \geq 64$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2}$의 최솟값은 $64$