상용로그를 이용한 부등식의 자연수 개수

$a ^{\log _{a} x} = x$ 이므로 준 식은 다음과 같다. $x ^{\log x} < 1000 \cdot {9} ^{\log _{3} x}$$= 1000 \cdot {3} ^{2 \log _{3} x}$ $= 1000 \cdot 3 ^{\log _{3} x ^{2}}$ $= 1000 \cdot x ^{2} \cdots$(1) 식 (1)의 양변에 밑이 $10$인 상용로그를 취하면 $( \log x ) ^{2} < 3 + 2 \cdot \log x$ $\log x = t$($t$는 모든 실수)로 치환하면 $t ^{2} < 3 + 2 t$ $( t - 3 ) ( t + 1 ) < 0$ $- 1 < t < 3$ $\displaystyle \log \frac{1}{10} < \log x < \log 10 ^{3}$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{10} < x < 1000$ 따라서, 자연수 $x$의 개수는 $999$개다.