상용로그 조건 순서쌍

조건 (가)에서 $a < b < 10 a$ 조건 (나)에서 $0 < \log b < 9 - 2 a$이므로 $1 \leq a \leq 4$이고 $1 < b < 10 ^{9 - 2 a}$ (ⅰ) $a = 1$, $2$, $3$인 경우 $10 a < 10 ^{9 - 2 a}$이므로 $a < b < 10 a$ $( b$의 개수$) = 9 a - 1$ (ⅱ) $a = 4$인 경우 $4 < b < 40$이고 $1 < b < 10$이므로 $4 < b < 10$ ($b$의 개수$) = 5$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{3} ( 9 k - 1 ) + 5 = 51 + 5 = 56$