대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

상용로그 자연수 조건

문제

10≤x<100010 \leq x < 1000인 실수 xx에 대하여 log⁡x3−log⁡1x2\displaystyle \log x ^{3} - \log \frac{1}{x ^{2}}의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 xx의 개수를 구하시오. [3점]

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10

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해설

[출제의도] 로그의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다. log⁡x3−log⁡1x2\displaystyle \log x ^{3} - \log \frac{1}{x ^{2}} =3log⁡x−(−2log⁡x)= 3 \log x - \left( - 2 \log x \right)=5log⁡x= 5 \log x 10≤x<100010 \leq x < 1000에서 1≤log⁡x<31 \leq \log x < 3, 5≤5log⁡x<155 \leq 5 \log x < 15 따라서 5log⁡x5 \log x의 값이 자연수가 되도록 하는 xx의 개수는 1010 [보충 설명] 5log⁡x5 \log x의 값이 자연수가 되도록 하는 xx의 값을 구하면 x=10x = 10, 1065\displaystyle 10 ^{\frac{6}{5}}, 1075\displaystyle 10 ^{\frac{7}{5}}, 1085\displaystyle 10 ^{\frac{8}{5}}, …, 10145\displaystyle 10 ^{\frac{14}{5}}

태그

#상용로그#로그의 성질

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