상용로그 가수 순서쌍

$\log x$의 지표를 $g \left( x \right)$라 하면 $\log x = g \left( x \right) + f \left( x \right)$이고 조건 (나)에서 $\left\{ g \left( b \right) + f \left( b \right) \right\} - \left\{ g \left( a \right) + f \left( a \right) \right\} \leq f \left( a \right) - f \left( b \right)$ $g \left( b \right) + 2 f \left( b \right) \leq g \left( a \right) + 2 f \left( a \right)$ (1) $g \left( a \right) = g \left( b \right) = 0$인 경우 또는 $g \left( a \right) = g \left( b \right) = 1$인 경우 $g \left( b \right) + 2 f \left( b \right) \leq g \left( a \right) + 2 f \left( a \right)$에서 $f \left( b \right) \leq f \left( a \right)$인데 $\log x$의 가수 $f \left( x \right) = \log x - \left[ \log x \right]$가 증가함수이므로 주어진 조건을 만족하는 $a$와 $b$는 같은 경우이다. 따라서 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $20$이다. (2) $g \left( a \right) = 0$, $g \left( b \right) = 1$인 경우 $g \left( b \right) + 2 f \left( b \right) \leq g \left( a \right) + 2 f \left( a \right)$에서 $1 + 2 f \left( b \right) \leq 2 f \left( a \right)$ $2 + 2 f \left( b \right) \leq 1 + 2 f \left( a \right)$ $2 \log b \leq 1 + 2 \log a = \log 10 a ^{2}$, $b ^{2} \leq 10 a ^{2}$ 부등식을 만족하는 순서쌍은 $a = 4$일 때, $b$는 $10$에서 $12$까지 $3$가지 $a = 5$일 때, $b$는 $10$에서 $15$까지 $6$가지 $a = 6$일 때, $b$는 $10$에서 $18$까지 $9$가지 $a = 7$일 때, $b$는 $10$에서 $20$까지 $11$가지 $a = 8$일 때, $b$는 $10$에서 $20$까지 $11$가지 $a = 9$일 때, $b$는 $10$에서 $20$까지 $11$가지 따라서 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 개수는 $51$이다. 그러므로 총 $71$개