미적분Ⅰ미분계수와 도함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

상수항이 있는 관계식과 도함수

문제

미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 x,yx , y에 대하여 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy−1f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy - 1을 만족시키고 f′(1)=5f' ( 1 ) = 5일 때, f′(3)f' ( 3 )의 값을 구하시오. [4점]

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9

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해설

주어진 식에 x=0,y=0x = 0 , y = 0을 대입하면 f(0)=2f(0)−1f ( 0 ) = 2 f ( 0 ) - 1이므로 f(0)=1f ( 0 ) = 1 f(x+h)=f(x)+f(h)+2xh−1f ( x + h ) = f ( x ) + f ( h ) + 2 xh - 1이므로 f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→0f(h)+2xh−1h\displaystyle f' ( x ) = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( h ) + 2 xh - 1}{h} =lim⁡h→0f(h)−f(0)h+2x=f′(0)+2x\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0} \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} + 2 x = f' ( 0 ) + 2 x f′(1)=f′(0)+2=5f' ( 1 ) = f' ( 0 ) + 2 = 5에서 f′(0)=3f' ( 0 ) = 3 f′(x)=2x+3f' ( x ) = 2 x + 3 따라서 f′(3)=6+3=9f' ( 3 ) = 6 + 3 = 9이다.

태그

#도함수의 정의#함수의 관계식#f(x+y)

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