공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

상자 속 통조림통

문제

밑면의 반지름의 길이가 9cm9 \mathrm{cm}이고 높이가 15cm15 \mathrm{cm}인 원기둥 모양의 통조림통이 있다. 이 통조림통을 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 25cm25 \mathrm{cm}, 18cm18 \mathrm{cm}이고 높이가 15cm15 \mathrm{cm}인 직육면체 모양의 상자에 담고, 상자의 남은 공간에 높이가 15cm15 \mathrm{cm}인 원기둥 모양의 통조림통을 한개만 더 담으려고 한다. 더 담으려고 하는 통조림통의 부피의 최댓값이 aπcm3a \pi \mathrm{cm} ^{3}일 때, aa의 값을 구하시오. (\left( \right.단, 통조림통과 상자의 두께는 무시하고 통조림통의 일부가 상자 밖으로 벗어나지 않게 담는다.)\left. \right) [4점]

15cm15 \mathrm{cm} 25cm25 \mathrm{cm} 18cm18 \mathrm{cm} 15cm15 \mathrm{cm}

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240

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해설

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 처음 상자에 담은 통조림통의 밑면의 중심을 O1\mathrm{O} _{\mathit{1}}이라 하고 상자의 남은 공간에 담을 수 있는 원기둥 모양 통조림통 밑면의 중심을 O2\mathrm{O} _{\mathit{2}}라 하자. 상자의 밑면의 한 꼭짓점이 원점에 오도록 좌표평면에 두면, 그림과 같이 두 원의 중심은 각각 O1\mathrm{O} _{\mathit{1}}(16,9)\left( 16 , 9 \right), O2(r,r){\mathrm{O}} _{\mathit{2}} ( r , r )

O1O2‾2=(16−r)2+(9−r)2=(9+r)2\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} O _{2}}} ^{2} = \mathit{\left( 16 - r \right)} ^{2} + ( 9 - r ) ^{2} = \left( 9 + r \right) ^{2} r2−68r+256=0r ^{2} - 68 r + 256 = 0, r=4r = 4 또는 r=64r = 64 r≤9r \leq 9이므로 r=4r = 4 따라서 부피의 최댓값은 π×16×15=240π\pi \times 16 \times 15 = 240 \pi

태그

#두 원의 위치 관계#실생활

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