산책로 위 정수 좌표 지점의 개수

실마리: 산책로 위의 점을 하나의 문자로 나타낸 뒤, 두 좌표가 모두 정수가 될 조건을 하나의 식으로 바꾼다. 산책로 위의 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점이므로 $0 \leq t \leq 1$인 실수 $t$에 대하여 $\mathrm{P} ( - 6 + 24 t , 8 - 18 t )$ 로 나타낼 수 있다. 두 좌표가 모두 정수이려면 $24 t$와 $18 t$가 모두 정수이어야 한다. $24 t$와 $18 t$가 모두 정수이면 그 차인 $24 t - 18 t = 6 t$도 정수이고, 거꾸로 $6 t$가 정수이면 $24 t = 4 \times 6 t$, $18 t = 3 \times 6 t$도 정수이다. 즉, 두 좌표가 모두 정수일 조건은 $6 t$가 정수인 것과 같다. $0 \leq t \leq 1$에서 $0 \leq 6 t \leq 6$이므로 $6 t = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ 따라서 가로등을 세울 수 있는 지점은 $7$개이다. (검산: 그 지점들은 $( - 6 , 8 )$, $( - 2 , 5 )$, $( 2 , 2 )$, $( 6 , - 1 )$, $( 10 , - 4 )$, $( 14 , - 7 )$, $( 18 , - 10 )$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{24 ^{2} + 18 ^{2}} = 30$이므로 이웃한 두 지점 사이의 거리는 모두 $5$로 일정하다.)