대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

산 높이를 구하는 사인법칙 활용

문제

음주 단속 중 음주용의자가 산을 향하여 도주하다 어느 지점에서 산꼭대기를 바라보니 지면과 이루는 각이 aa이었고, 계속하여 L(m)L ( m )를 더 도주하여 산꼭대기를 바라보니 각이 3a3 a이었다. 이 산의 높이는? (단, 음주용의자는 평지를 직선으로 달렸고, 음주용의자의 키는 고려하지 않음) ①cos⁡a⋅sin⁡3asin⁡2aL(m)\displaystyle \frac{\cos a \cdot \sin 3 a}{\sin 2 a} L ( m )②cos⁡a⋅sin⁡3acos⁡2aL(m)\displaystyle \frac{\cos a \cdot \sin 3 a}{\cos 2 a} L ( m )③sin⁡2a⋅sin⁡3asin⁡aL(m)\displaystyle \frac{\sin 2 a \cdot \sin 3 a}{\sin a} L ( m )④sin⁡a⋅sin⁡2asin⁡3aL(m)\displaystyle \frac{\sin a \cdot \sin 2 a}{\sin 3 a} L ( m )⑤sin⁡a⋅sin⁡3asin⁡2aL(m)\displaystyle \frac{\sin a \cdot \sin 3 a}{\sin 2 a} L ( m )

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⑤

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해설

음주용의자가 도주를 시작한 지점을 AA, L(m)L ( m )만큼 도주한 후의 지점을 BB라 하자. 산의 높이를 hh, 산의 정상에서 지표면에 내린 수선의 발 ⊙\odot에서 점 BB까지 거리를 xx라 하면 sin⁡\sin법칙에 의해 hsin⁡a=L+xsin⁡(π2−a)\displaystyle \frac{h}{\sin a} = \frac{L + x}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right)}, hsin⁡3a=xsin⁡(π2−3a)\displaystyle \frac{h}{\sin 3 a} = \frac{x}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - 3 a \right)} tan⁡3a=hx\displaystyle \tan 3 a = \frac{h}{x} ∴x=htan⁡3a\displaystyle \therefore x = \frac{h}{\tan 3 a} 또한, tan⁡a=hL+x\displaystyle \tan a = \frac{h}{L + x} 이므로 h=(L+x)tan⁡a=(L+htan⁡3a)tan⁡a\displaystyle h = ( L + x ) \tan a = \left( L + \frac{h}{\tan 3 a} \right) \tan a 식을 정리하면 h=tan⁡a⋅tan⁡3atan⁡3a−tan⁡a⋅L\displaystyle h = \frac{\tan a \cdot \tan 3 a}{\tan 3 a - \tan a} \cdot L =sin⁡acos⁡a⋅sin⁡3acos⁡3asin⁡3acos⁡3a−sin⁡acos⁡a⋅L\displaystyle = \frac{\frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\sin 3 a}{\cos 3 a}}{\frac{\sin 3 a}{\cos 3 a} - \frac{\sin a}{\cos a}} \cdot L =sin⁡asin⁡3asin⁡3acos⁡a−cos⁡3asin⁡a⋅L\displaystyle = \frac{\sin a \sin 3 a}{{\sin 3 a \cos a} - {\cos 3 a \sin a}} \cdot L =sin⁡asin⁡3asin⁡2a⋅L\displaystyle = \frac{\sin a \sin 3 a}{\sin 2 a} \cdot L

태그

#사인법칙#실생활 활용#삼각함수

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