사면체와 구, 정사영 넓이

삼각형 ${\mathrm{BCD}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{BD}}} = 2 \sqrt{5}$인 이등변삼각형이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 4$이다. 이때 선분 ${\mathrm{CD}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} \perp {\overline{\mathrm{CD}}}$이고, 직각삼각형 ${\mathrm{BCM}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{CM}}} ^{2}}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2} - 2 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{20 - 4}$$= 4$ 점 ${\mathrm{A}}$에서 직선 ${\mathrm{CD}}$에 내린 수선의 발이 ${\mathrm{H}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} \perp {\overline{\mathrm{CD}}}$ 또한 삼각형 ${\mathrm{ABH}}$은 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AH}$인 이등변삼각형이므로 점 ${\mathrm{A}}$에서 직선 ${\mathrm{BH}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{K}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{KH}}} = {\overline{{\mathrm{KB}}}}$ 한편 점 $\mathrm{A}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영이 $\mathrm{K}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AK}} \perp$(평면 $\mathrm{BCD}$)이다. 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} \perp$$\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{KH}} \perp$$\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$ 평면 $\mathrm{BCD}$ 위에서 직선 $\mathrm{KH}$와 직선 $\mathrm{BM}$은 직선 $\mathrm{CD}$에 수직이고, 두 직선은 평행하다. 그런데, 두 직선은 모두 점 $\mathrm{B}$를 지나므로 두 직선은 일치한다. 따라서 점 $\mathrm{H}$는 두 직선 $\mathrm{BM}$, $\mathrm{CD}$ 위에 있으므로 점 $\mathrm{H}$는 두 직선의 교점인 점 $\mathrm{M}$과 같다. $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = {\overline{\mathrm{BM}}} = 4$ 즉 삼각형 $\mathrm{ABH}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = 4$이므로 정삼각형이다. 점 ${\mathrm{G}}$는 정삼각형 ${\mathrm{ABH}}$의 무게중심이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AK}}} \perp$(평면 ${\mathrm{BCD}}$)이고, 점 ${\mathrm{G}}$는 선분 ${\mathrm{AK}}$ 위에 있으므로 직선 ${\mathrm{AG}}$는 평면 ${\mathrm{BCD}}$에 수직이다. 구 $S$의 중심은 ${\mathrm{G}}$이고 평면 ${\mathrm{ACD}}$에 접하므로 구의 반지름을 $r$이라 하면 $r$은 점 ${\mathrm{G}}$에서 평면 ${\mathrm{ACD}}$까지의 거리이다.

이때 직선 $\mathrm{CD}$는 두 직선 $\mathrm{AH}$, $\mathrm{BH}$에 모두 수직이므로 평면 $\mathrm{ABH}$와 수직이다. 따라서 평면 ${\mathrm{ACD}}$는 평면 $\mathrm{ABH}$와 수직이고 두 평면의 교선은 직선 $\mathrm{AH}$이다. 즉 평면 $\mathrm{ABH}$ 위의 점 ${\mathrm{G}}$에서 평면 ${\mathrm{ACD}}$까지의 거리는 직선 ${\mathrm{AH}}$까지의 거리와 같다. 또한 점 ${\mathrm{G}}$에서 평면 ${\mathrm{BCD}}$까지의 거리는 직선 ${\mathrm{BH}}$까지의 거리와 같고, 이 거리는 정삼각형 ${\mathrm{ABH}}$의 내접원의 반지름 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 ^{2} = \frac{1}{2} \times \left( 4 + 4 + 4 \right) \times r$ $\displaystyle 4 \sqrt{3} = 6 r$ $\therefore$ $\displaystyle r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 따라서 구 $S$의 반지름은 $\displaystyle r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 한편 $\displaystyle \angle {\mathrm{APG}} = \frac{\pi}{2}$인 구 $S$ 위의 점 ${\mathrm{P}}$가 나타내는 도형 $T$는 선분 ${\mathrm{AG}}$를 지름으로 하는 구와 구 $S$의 교선인 원이다. 선분 ${\mathrm{AG}}$의 길이는 정삼각형 ${\mathrm{ABH}}$의 꼭짓점 ${\mathrm{A}}$에서 무게중심 ${\mathrm{G}}$까지의 거리이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = \frac{2}{3} {\overline{\mathrm{AK}}} = \frac{2}{3} \times \left( 2 \sqrt{3} \right) = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 즉 선분 ${\mathrm{AG}}$를 지름으로 하는 구의 반지름은 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}$이므로 두 구의 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}$이다.

따라서 원 $T$의 반지름을 $r _{T}$라 하면 $r _{T} \mathit{^{2}}$$\displaystyle = r ^{2} - \left( \frac{1}{2} \times \frac{\overline{\mathrm{AG}}}{2} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) ^{2} - \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{12}{9} - \frac{3}{9}$$= 1$ $\therefore$ $r _{T} = 1$ 따라서 도형 $T$의 넓이는 $\pi$이다. 이때 도형 $T$가 놓인 평면은 직선 ${\mathrm{AG}}$에 수직이고, 직선 ${\mathrm{AG}}$는 평면 ${\mathrm{BCD}}$에 수직이므로 도형 $T$가 놓인 평면은 평면 ${\mathrm{BCD}}$와 평행하다. 따라서 도형 $T$의 평면 ${\mathrm{ABC}}$ 위로의 정사영의 넓이는 평면 ${\mathrm{BCD}}$ 위의 넓이가 $\pi$인 원을 평면 ${\mathrm{ABC}}$ 위로 정사영시킨 넓이와 같다. 이때 정사영의 넓이를 $S'$라 하면 $S' =$$\pi \cos \theta$ 이고, $\theta$는 평면 ${\mathrm{ABC}}$와 평면 ${\mathrm{BCD}}$가 이루는 각이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 꼭짓점 ${\mathrm{A}}$의 평면 ${\mathrm{BCD}}$ 위로의 정사영은 ${\mathrm{K}}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영은 삼각형 ${\mathrm{KBC}}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{ACH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{HC}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} + 2 ^{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{5}$ 즉 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 \sqrt{5}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 이등변삼각형이다. 즉 $\mathrm{AB}$를 밑변으로 하면 높이는 $\displaystyle \sqrt{\left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2} - 2 ^{2}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\triangle {\mathrm{ABC}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ 직각삼각형 $\mathrm{CHB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = 4$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{CHB} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

이때 점 $\mathrm{K}$는 선분 $\mathrm{BH}$의 중점이므로 삼각형 ${\mathrm{KBC}}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{CHB}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다. $\therefore$ $\triangle {\mathrm{KBC}}$$= 2$ $\therefore$ $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\triangle} KBC}{\mathrm{\triangle} ABC}$$\displaystyle = \frac{2}{8}$$\displaystyle = \frac{1}{4}$ 따라서 도형 $T$의 평면 ${\mathrm{ABC}}$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$는 $\displaystyle S' = \pi \cos \theta = \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}$