사면체 모서리 제곱합

[출제의도] 도형으로 주어진 조건을 만족시키는 식을 변형하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

세 선분 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$, $\mathrm{OC}$의 길이를 각각 $a , b , c$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} + \overline{OB} + \overline{OC} = 9$에서 $a + b + c = 9$ 세 삼각형 $\mathrm{\triangle} OAB$, $\mathrm{\triangle} OBC$, $\mathrm{\triangle} OCA$의 넓이의 합은 $13$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} ab + \frac{1}{2} bc + \frac{1}{2} ca = 13$ ∴ $ab + bc + ca = 26$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} ^{2} + \overline{OB} ^{2} + \overline{OC} ^{2}$$=$$a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}$ $= ( a + b + c ) ^{2} - 2 ( ab + bc + ca )$ $= 81 - 52$ $= 29$