사면체 전개도 최솟값

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 선분의 길이의 합의 최솟값을 구할 수 있는가? 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}'$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \perp$(평면 $\mathrm{BCD}$)이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP'}} \perp {\overline{BC}}$이므로 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{DP'}} \perp \mathrm{\overline{BC}}$이다. 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + {\overline{DP}} \geq {\overline{AP'}} + {\overline{DP'}}$ 이므로 구하는 최소의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}'}} + {\overline{DP'}}$ 이다. 한편, 직각삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{2 ^{2} + \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}} = 4$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{DB}}} \times {\overline{DC}} = \frac{1}{2} \times {\overline{BC}} \times {\overline{DP'}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DB}}} \times {\overline{DC}} = {\overline{BC}} \times {\overline{DP'}}$ $\displaystyle 2 \times 2 \sqrt{3} = 4 \times \mathrm{\overline{DP'}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DP'}} = \sqrt{3}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이때, 직각삼각형 $\mathrm{ADP}'$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP'}}$$\displaystyle = \sqrt{\mathrm{\overline{AD}} ^{2} + {\overline{DP'}} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{3 ^{2} + \left( \sqrt{3} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{3}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠과 ㉡에서 구하는 최솟값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP'}} + {\overline{DP'}} = 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$