기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

삼수선 정리

문제

그림과 같이 평면 α\alpha 위에 넓이가 2424인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 평면 α\alpha 위에 있지 않은 점 P\mathrm{P}에서 평면 α\alpha에 내린 수선의 발을 H,\mathrm{H} ,직선 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 H\mathrm{H}가 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 무게중심이고, PH‾=4,AB‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = 4 , \overline{AB} = 8일 때, 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이는? [3점]

①32\displaystyle 3 \sqrt{2}②25\displaystyle 2 \sqrt{5}③22\displaystyle \sqrt{22}④26\displaystyle 2 \sqrt{6}⑤26\displaystyle \sqrt{26}

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②

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해설

PH‾⊥α\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp \alpha, PQ‾⊥AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} \perp \overline{\mathrm{AB}}이므로 삼수선의 정리에 의해 HQ‾⊥AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}} \perp \overline{\mathrm{AB}} 한편, H\mathrm{H}가 무게중심이므로 △HAB\triangle {\mathrm{HAB}}의 넓이는 13×24=8\displaystyle \frac{1}{3} \times {24} = 8 △HAB\triangle {\mathrm{HAB}}의 넓이=12×8×HQ‾=8\displaystyle = \frac{1}{2} \times 8 \times \overline{\mathrm{HQ}} = 8 ∴HQ‾=2\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{HQ}} = 2 △PHQ\triangle {\mathrm{PHQ}}는 직각삼각형이고 PH‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = 4, HQ‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}} = 2이므로 ∴PQ‾=25\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{PQ}} = 2 \sqrt{5}

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#삼수선의 정리#무게중심

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