삼진법 전개 계수의 합

$n = 1$부터 $n = 80$까지의 자연수를 $3$진법으로 나타내면 $4$자리 이하의 수가 된다. 이때, 삼진법의 수 $1 _{(3)}$, $12 _{(3)}$, $120 _{(3)}$등을 $0001 _{(3)}$, $0012 _{(3)}$, $0123 _{(3)}$라 생각하더라도 $j$가 $4$이하이면 $\displaystyle b _{n} = \sum\limits _{j = 1} ^{k} \frac{a _{j}}{3 ^{j}} = \sum\limits _{j = 1} ^{4} \frac{a _{j}}{3 ^{j}} = \frac{a _{1}}{3} + \frac{a _{2}}{3 ^{2}} + \frac{a _{3}}{3 ^{3}} + \frac{a _{4}}{3 ^{4}}$이 성립하므로 $n = 1$부터 $n = 80$까지의 자연수를 $a _{1} a _{2} a _{3} a _{4} {}_{(3)}$라 나타내자. (단, $a _{n}$($n = 1$, $2$, $3$, $4$)는 $0$또는 $1$또는 $2$의 값을 가지며 모두 $0$인 경우는 제외) 이때, $n$중 $a _{1} = 1$을 만족하는 것의 개수는 $a _{2}$, $a _{3}$, $a _{4}$를 정하는 방법의 수가 각각 $3$가지 씩이므로 총 $3 ^{3}$가지 존재한다. 마찬가지로 $a _{1} = 2$을 만족하는 $n$의 개수도 $3 ^{3}$가지 존재하고 $a _{2} = 1$, $2$ , $a _{3} = 1$, $2$, $a _{4} = 1$, $2$ 만족하는 것의 $n$의 개수도 각각 모두 $3 ^{3}$가지 존재한다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{80} b _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{80} \left( \frac{a _{1}}{3} + \frac{a _{2}}{3 ^{2}} + \frac{a _{3}}{3 ^{3}} + \frac{a _{4}}{3 ^{4}} \right)$ $\displaystyle = 3 ^{3} \times \left( 1 + 2 \right) \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \frac{1}{3 ^{4}} \right)$ $= 27 + 9 + 3 + 1$$= 40$