미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각수열과 등비급수

문제

두 정수 α\alpha, β(α>β)\beta \left( \alpha > \beta \right)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 있다.

모든 자연수 nn에 대하여 an=α×sin⁡n2π+β×cos⁡n2π\displaystyle a _{n} = \alpha \times \sin \frac{n}{2} \pi + \beta \times \cos \frac{n}{2} \pi 이고, a1×a2×a3×a4=4a _{1} \times a _{2} \times a _{3} \times a _{4} = 4이다.

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}과 b1>0b _{1} > 0인 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(a4n−2bn)=∑n=1∞(a4n−3b2n)=6\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{4 n - 2} b _{n} \right) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{4 n - 3} b _{2 n} \right) = 6 일 때, b1×b3=qp\displaystyle b _{1} \times b _{3} = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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109

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해설

an=α×sin⁡n2π+β×cos⁡n2π\displaystyle a _{n} = \alpha \times \sin \frac{n}{2} \pi + \beta \times \cos \frac{n}{2} \pi에서 a1=α×sin⁡12π+β×cos⁡12π=α\displaystyle a _{1} = \alpha \times \sin \frac{1}{2} \pi + \beta \times \cos \frac{1}{2} \pi = \alpha a2=α×sin⁡π+β×cos⁡π=−βa _{2} = \alpha \times \sin \pi + \beta \times \cos \pi = - \beta a3=α×sin⁡32π+β×cos⁡32π=−α\displaystyle a _{3} = \alpha \times \sin \frac{3}{2} \pi + \beta \times \cos \frac{3}{2} \pi = - \alpha a4=α×sin⁡2π+β×cos⁡2π=βa _{4} = \alpha \times \sin 2 \pi + \beta \times \cos 2 \pi = \beta 이므로 a4n−2=a2=−βa _{4 n - 2} = a _{2} = - \beta, a4n−3=a1=αa _{4 n - 3} = a _{1} = \alpha 이때 ∑n=1∞(a4n−2bn)=∑n=1∞(a4n−3b2n)=6\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{4 n - 2} b _{n} \right) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{4 n - 3} b _{2 n} \right) = 6 에서 급수가 수렴하므로 등비수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 첫째항을 b(b>0)b \left( b > 0 \right), 공비를 r(−1<r<1)r \left( - 1 < r < 1 \right)이라 하면 수열 {b2n}\left\{ b _{2 n} \right\}은 첫째항이 brbr이고 공비가 r2r ^{2}인 등비수열이다. 즉 ∑n=1∞(a4n−2bn)=−β∑n=1∞bn=−β×b1−r\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{4 n - 2} b _{n} \right) = - \beta \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = - \beta \times \frac{b}{1 - r} ∑n=1∞(a4n−3b2n)=α∑n=1∞b2n=α×br1−r2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{4 n - 3} b _{2 n} \right) = \alpha \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{2 n} = \alpha \times \frac{br}{1 - r ^{2}} 이므로 −bβ1−r=brα1−r2=6\displaystyle - \frac{b \beta}{1 - r} = \frac{br \alpha}{1 - r ^{2}} = 6 ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 한편 a1×a2×a3×a4=4a _{1} \times a _{2} \times a _{3} \times a _{4} = 4에서 α2β2=4\alpha ^{2} \beta ^{2} = 4 ∴\therefore αβ=2\alpha \beta = 2 또는 αβ=−2\alpha \beta = - 2 (ⅰ) αβ=2\alpha \beta = 2일 때 β=2α\displaystyle \beta = \frac{2}{\alpha}이고 α\alpha, β(α>β)\beta \left( \alpha > \beta \right)는 정수이므로 α=2\alpha = 2, β=1\beta = 1 또는 α=−1\alpha = - 1, β=−2\beta = - 2 (a) α=2\alpha = 2, β=1\beta = 1일 때 ㉠에서 −b1−r=2br1−r2=6\displaystyle - \frac{b}{1 - r} = \frac{2 br}{1 - r ^{2}} = 6 이때 −b1−r=6\displaystyle - \frac{b}{1 - r} = 6에서 b1−r=−6\displaystyle \frac{b}{1 - r} = - 6이므로 2br1−r2=6\displaystyle \frac{2 br}{1 - r ^{2}} = 6에서 2br1−r2=2r1+r×b1−r=2r1+r×(−6)\displaystyle \frac{2 br}{1 - r ^{2}} = \frac{2 r}{1 + r} \times \frac{b}{1 - r} = \frac{2 r}{1 + r} \times \left( - 6 \right) 즉 2r1+r×(−6)=6\displaystyle \frac{2 r}{1 + r} \times \left( - 6 \right) = 6이므로 r1+r=−12\displaystyle \frac{r}{1 + r} = - \frac{1}{2}, 2r=−1−r2 r = - 1 - r 3r=−13 r = - 1 ∴\therefore r=−13\displaystyle r = - \frac{1}{3} b1−r=−6\displaystyle \frac{b}{1 - r} = - 6에 r=−13\displaystyle r = - \frac{1}{3}을 대입하면 b1−(−13)=−6\displaystyle \frac{b}{1 - \left( - \frac{1}{3} \right)} = - 6 ∴\therefore b=−6×43=−8\displaystyle b = - 6 \times \frac{4}{3} = - 8 그런데 b>0b > 0이므로 모순이다. (b) α=−1\alpha = - 1, β=−2\beta = - 2일 때 ㉠에서 2b1−r=−br1−r2=6\displaystyle \frac{2 b}{1 - r} = \frac{- br}{1 - r ^{2}} = 6 이때 2b1−r=6\displaystyle \frac{2 b}{1 - r} = 6에서 b1−r=3\displaystyle \frac{b}{1 - r} = 3이므로 −br1−r2=6\displaystyle \frac{- br}{1 - r ^{2}} = 6에서 −br1−r2=−r1+r×b1−r=−r1+r×3\displaystyle \frac{- br}{1 - r ^{2}} = \frac{- r}{1 + r} \times \frac{b}{1 - r} = \frac{- r}{1 + r} \times 3 즉 −r1+r×3=6\displaystyle \frac{- r}{1 + r} \times 3 = 6이므로 −r1+r=2\displaystyle \frac{- r}{1 + r} = 2, −r=2+2r- r = 2 + 2 r 3r=−23 r = - 2 ∴\therefore r=−23\displaystyle r = - \frac{2}{3} b1−r=3\displaystyle \frac{b}{1 - r} = 3에 r=−23\displaystyle r = - \frac{2}{3}를 대입하면 b1+23=3\displaystyle \frac{b}{1 + \frac{2}{3}} = 3 ∴\therefore b=3×53=5\displaystyle b = 3 \times \frac{5}{3} = 5 ∴\therefore b1×b3=b×br2=25×49=1009\displaystyle b _{1} \times b _{3} = b \times br ^{2} = 25 \times \frac{4}{9} = \frac{100}{9} (ⅱ) αβ=−2\alpha \beta = - 2일 때 β=−2α\displaystyle \beta = - \frac{2}{\alpha}이고 α\alpha, β(α>β)\beta \left( \alpha > \beta \right)는 정수이므로 α=1\alpha = 1, β=−2\beta = - 2 또는 α=2\alpha = 2, β=−1\beta = - 1 (a) α=1\alpha = 1, β=−2\beta = - 2일 때 ㉠에서 2b1−r=br1−r2=6\displaystyle \frac{2 b}{1 - r} = \frac{br}{1 - r ^{2}} = 6 이때 2b1−r=6\displaystyle \frac{2 b}{1 - r} = 6에서 b1−r=3\displaystyle \frac{b}{1 - r} = 3이므로 br1−r2=6\displaystyle \frac{br}{1 - r ^{2}} = 6에서 br1−r2=r1+r×b1−r=r1+r×3\displaystyle \frac{br}{1 - r ^{2}} = \frac{r}{1 + r} \times \frac{b}{1 - r} = \frac{r}{1 + r} \times 3 즉 r1+r×3=6\displaystyle \frac{r}{1 + r} \times 3 = 6이므로 r1+r=2\displaystyle \frac{r}{1 + r} = 2, r=2+2rr = 2 + 2 r ∴\therefore r=−2r = - 2 그런데 −1<r<1- 1 < r < 1이므로 모순이다. (b) α=2\alpha = 2, β=−1\beta = - 1일 때 ㉠에서 b1−r=2br1−r2=6\displaystyle \frac{b}{1 - r} = \frac{2 br}{1 - r ^{2}} = 6 이때 b1−r=6\displaystyle \frac{b}{1 - r} = 6이므로 2br1−r2=6\displaystyle \frac{2 br}{1 - r ^{2}} = 6에서 2br1−r2=2r1+r×b1−r=2r1+r×6\displaystyle \frac{2 br}{1 - r ^{2}} = \frac{2 r}{1 + r} \times \frac{b}{1 - r} = \frac{2 r}{1 + r} \times 6 즉 2r1+r×6=6\displaystyle \frac{2 r}{1 + r} \times 6 = 6이므로 2r1+r=1\displaystyle \frac{2 r}{1 + r} = 1, 2r=1+r2 r = 1 + r ∴\therefore r=1r = 1 그런데 −1<r<1- 1 < r < 1이므로 모순이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 b1×b3=1009\displaystyle b _{1} \times b _{3} = \frac{100}{9} 따라서 p=9p = 9, q=100q = 100이므로 p+q=109p + q = 109

태그

#등비급수#삼각함수

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