삼각식의 최댓값

$a ^{2} + b ^{2} = 3 ab \cos \gamma$의 양변을 $ab$로 나누면 $\displaystyle 3 \cos \gamma = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ $a , b$는 양수이므로 $\displaystyle \frac{a}{b} , \frac{b}{a}$도 양수이다. 따라서, 산술-기하평균에 의하여 $\displaystyle 3 \cos \gamma = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$ $\displaystyle \therefore \cos \gamma \geq \frac{2}{3}$ $\displaystyle \therefore \frac{2}{3} \leq \cos \gamma \leq 1$ 또, $\alpha + \beta = \pi - \gamma$이므로 $\sin ( \pi + \alpha + \beta ) = \sin ( 2 \pi - \gamma ) = - \sin \gamma$ 준식$= 9 \sin ^{2} \gamma + 9 \cos \gamma$$= 9 ( 1 - \cos ^{2} \gamma ) + 9 \cos \gamma$ $= - 9 ( \cos ^{2} \gamma - \cos \gamma ) + 9$$\displaystyle = - 9 \left( \cos \gamma - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{45}{4}$ 그런데 $\displaystyle \frac{2}{3} \leq \cos \gamma \leq 1$이므로 $\displaystyle \cos \gamma = \frac{2}{3}$일 때 최댓값 $11$을 갖는다.