삼각형의 세 변의 직선과 삼각형을 이루지 않는 직선들

실마리: 두 직선 $l _{i}$, $l _{j}$와 직선 $l$이 삼각형을 이루지 않으려면 $l$이 두 직선의 교점(삼각형의 꼭짓점)을 지나거나 둘 중 하나와 평행해야 한다. 이것이 세 쌍 모두에 대하여 성립해야 한다. (ⅰ) 직선 $l$이 삼각형의 꼭짓점을 하나도 지나지 않는다고 하자. $l _{1}$, $l _{2}$에 대하여 $l$은 $l _{1}$ 또는 $l _{2}$와 평행해야 하고, $l _{2}$, $l _{3}$에 대하여 $l _{2}$ 또는 $l _{3}$과, $l _{3}$, $l _{1}$에 대하여 $l _{3}$ 또는 $l _{1}$과 평행해야 한다. 그런데 $l _{1}$, $l _{2}$, $l _{3}$은 서로 평행하지 않으므로 $l$이 이 중 하나와 평행하면 나머지 둘과는 평행할 수 없어, 세 조건 중 하나는 성립하지 않는다. 따라서 $l$은 꼭짓점을 지난다. (ⅱ) 직선 $l$이 점 $\mathrm{A}$를 지난다고 하자. $l _{1}$, $l _{2}$에 대하여: 교점 $\mathrm{B}$를 $l$이 지나면 $l$은 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나 $l _{1}$과 같아지므로 안 된다. $l$이 $l _{1}$과 평행하면 점 $\mathrm{A}$를 지나므로 역시 $l _{1}$과 같아진다. 따라서 $l$은 $l _{2}$와 평행하다. 이때 $l _{2}$, $l _{3}$에 대하여도 $l$이 $l _{2}$와 평행하므로 조건이 성립하고, $l _{3}$, $l _{1}$에 대하여는 $l$이 교점 $\mathrm{A}$를 지나므로 성립한다. 즉 점 $\mathrm{A}$를 지나는 $l$은 $\mathrm{A}$를 지나고 $\mathrm{BC}$에 평행한 직선 하나뿐이다. 같은 방법으로 점 $\mathrm{B}$를 지나는 $l$은 $\mathrm{B}$를 지나고 $\mathrm{CA}$에 평행한 직선, 점 $\mathrm{C}$를 지나는 $l$은 $\mathrm{C}$를 지나고 $\mathrm{AB}$에 평행한 직선이다. (ⅲ) 세 직선 $l$의 방정식 직선 $\mathrm{BC}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 - 6}{4 - 0} = - \frac{3}{2}$이므로 $\mathrm{A}$를 지나는 $l$은 $\displaystyle y = - \frac{3}{2} \left( x + 2 \right)$, 즉 $\displaystyle y = - \frac{3}{2} x - 3$ 직선 $\mathrm{CA}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{6 - 0}{0 - \left( - 2 \right)} = 3$이므로 $\mathrm{B}$를 지나는 $l$은 $y = 3 \left( x - 4 \right)$, 즉 $y = 3 x - 12$ 직선 $\mathrm{AB}$는 $x$축이므로 $\mathrm{C}$를 지나는 $l$은 $y = 6$ (ⅳ) 세 직선의 교점 $y = 6$, $\displaystyle y = - \frac{3}{2} x - 3$에서 $x = - 6$: 점 $\left( - 6 , 6 \right)$ $y = 6$, $y = 3 x - 12$에서 $x = 6$: 점 $\left( 6 , 6 \right)$ $\displaystyle - \frac{3}{2} x - 3 = 3 x - 12$에서 $\displaystyle \frac{9}{2} x = 9$, $x = 2$, $y = - 6$: 점 $\left( 2 , - 6 \right)$ 밑변은 두 점 $\left( - 6 , 6 \right)$, $\left( 6 , 6 \right)$ 사이의 길이 $12$, 높이는 $6 - \left( - 6 \right) = 12$ (검산: 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 이 삼각형의 세 변의 중점이므로 그 넓이는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$의 $4$배인 $72$이다.) 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$