공통수학2직선의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

삼각형의 외심의 좌표

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 $\mathrm{A} ( - 1 , 0 )$ , $\mathrm{B} ( 5 , 0 )$ , $\mathrm{C} ( 3 , 4 )$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 외심의 좌표를 $( a , b )$ 라 할 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점은 $( 2 , 0 )$ 이고 직선 $\mathrm{AB}$ 는 $x$ 축이므로 선분 $\mathrm{AB}$ 의 수직이등분선은 $x = 2$ 선분 $\mathrm{AC}$ 의 중점은 $( 1 , 2 )$ 이고 직선 $\mathrm{AC}$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 0}{3 - ( - 1 )} = 1$ 이므로 선분 $\mathrm{AC}$ 의 수직이등분선은 $y - 2 = - ( x - 1 )$ , 즉 $y = - x + 3$ 두 직선 $x = 2$ , $y = - x + 3$ 의 교점은 $( 2 , 1 )$ 이다. 실제로 점 $( 2 , 1 )$ 에서 세 점까지의 거리의 제곱은 모두 $9 + 1 = 1 + 9 = 10$ 으로 같다. 따라서 $a = 2$ , $b = 1$ 이므로 $a + b = 3$ 이다.

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