미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형과 사인 덧셈정리

문제

그림과 같이 AB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2, AC‾=22\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 2 \sqrt{2}인 △ABC\mathrm{\triangle} ABC의 BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 PC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = 2, ∠BAC=∠APC\mathrm{\angle} BAC = \angle APC이다. ∠PAC=α\mathrm{\angle} PAC = \alpha, ∠ABC=β\mathrm{\angle} ABC = \beta일 때, sin⁡(α+β)\sin ( \alpha + \beta )의 값은? [4점]

①598\displaystyle \frac{\sqrt{59}}{8}②154\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}③618\displaystyle \frac{\sqrt{61}}{8}④628\displaystyle \frac{\sqrt{62}}{8}⑤378\displaystyle \frac{3 \sqrt{7}}{8}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기 ∠BAC=∠APC\mathrm{\angle} BAC = \angle APC이고, ∠PCA\mathrm{\angle} PCA은 공통각 이므로 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 󰁀 △PAC\mathrm{\triangle} PAC이다. AB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2, PC‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{PC}} = 2, AC‾=22\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 2 \sqrt{2}이므로 AP‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \sqrt{2} ∠PAC\mathrm{\angle} PAC=∠ABC= \mathrm{\angle} ABC이므로 α\alpha=β= \beta cos⁡α=2+8−42⋅2⋅22=34=cos⁡β\displaystyle \cos \alpha = \frac{2 + 8 - 4}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2}} = \frac{3}{4} = \cos \beta sin⁡α=74=sin⁡β\displaystyle \sin \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} = \sin \beta sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta =74⋅34+34⋅74=378\displaystyle = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3 \sqrt{7}}{8}

태그

#덧셈정리#코사인법칙

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