삼각형과 덧셈정리

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 코사인의 값을 구할 수 있는가?

$\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \mathit{a}$ (단, $a > 0$)이라 하면 직각삼각형 $\mathrm{CED}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}$$\displaystyle = \sqrt{\mathrm{\overline{CE}} ^{2} - \overline{CD} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \sqrt{5} \right) ^{2} - a ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 - a ^{2}}$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4 \overline{DE}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4 \sqrt{5 - a ^{2}}$ 직각삼각형 $\mathrm{CAD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} ^{2} = \overline{CD} ^{2} + \overline{AD} ^{2}$ 이므로 $\displaystyle \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2} = a ^{2} + \left( 4 \sqrt{5 - a ^{2}} \right) ^{2}$ $20 = a ^{2} + 80 - 16 a ^{2}$ $15 a ^{2} = 60$, $a ^{2} = 4$ $a > 0$이므로 $a = 2$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4$이다. 직각삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$\displaystyle = \sqrt{\overline{AB} ^{2} - \overline{AD} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} - 4 ^{2}}$$= 3$ 이므로 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\displaystyle \cos \alpha = \frac{3}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{CAD}$에서 $\displaystyle \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\displaystyle \cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 따라서 $\cos \left( \alpha - \beta \right)$$= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ $\displaystyle = \frac{3}{5} \times \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\displaystyle = \frac{10}{5 \sqrt{5}}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$