삼각형들의 공통부분 넓이의 합

직선 $\displaystyle y = \frac{x}{n}$에 대하여 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathit{\left( n , 1 \right)}$이고, 자연수 $k$에 대하여 직선 $x = k$와 직선 $\displaystyle y = \frac{x}{n}$의 교점을 $\mathrm{B} \mathit{_{k}}$$\displaystyle \left( k , \frac{k}{n} \right)$, 점 $\mathrm{B} \mathit{_{k}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{C} \mathit{_{k}} \left( k , 0 \right)$, 직선 $y = - x + k$과 직선 $\displaystyle y = \frac{x}{n}$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{D} \mathit{_{k}} \left( \frac{nk}{n + 1} , \frac{k}{n + 1} \right)$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} \mathit{_{k}} \mathrm{C} \mathit{_{k}}}} = \frac{k}{n}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} \mathit{_{k}} \mathrm{D} \mathit{_{k}}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( k - \frac{nk}{n + 1} \right) ^{2} + \left( - \frac{k}{n + 1} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2} k}{n + 1}$이므로 $a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{2} \times \frac{k}{n} \times \frac{\sqrt{2} k}{n + 1} \times \cos 45 ^\circ \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2 n \left( n + 1 \right)} \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{2}$ $\displaystyle = \frac{2 n + 1}{12}$ $\therefore$ $\displaystyle a _{50} = \frac{101}{12}$