삼각형 따라 움직이는 점

[출제의도] 여러 가지 적분법을 활용하여 추론하기 ㄱ. $0 \leq t < 3$일 때 점 $\mathrm{P}$는 점 ${\mathrm{A}} \left( 1 , 1 \right)$을 $x$축 방향으로 $t$만큼 평행이동한 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( t + 1 , 1 \right)$ $\therefore$(참) ㄴ. 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{t} + 1 , 1 \right)$은 함수 $f \left( x \right) = kx ^{2}$ 위의 점이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{\left( t + 1 \right) ^{2}}$ $f' \left( x \right) = 2 kx$이므로 $\displaystyle g \left( t \right) = f' \left( t + 1 \right) = \frac{2}{t + 1}$ $\therefore$(참) ㄷ. $3 \leq t \leq 7$일 때 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{B} \left( 4 , 1 \right)$을 $y$축 방향으로 $\left( t - 3 \right)$만큼 평행이동한 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 4 , t - 2 \right)$이다. 점 $\mathrm{P}$는 함수 $f \left( x \right) = kx ^{2}$ 위의 점이므로 $\displaystyle k = \frac{t - 2}{16}$ $\displaystyle g \left( t \right) = f' \left( 4 \right) = \frac{t - 2}{2}$ $\therefore$$\displaystyle g \left( t \right) = {\begin{cases} \frac{2}{t + 1 _{{}_{}}} & \left( 0 \leq t < 3 \right) _{{}_{}} \\ \frac{t - 2}{{2} ^{}} & \mathit{(} 3 \leq t \leq 7 ) ^{{}^{}} \end{cases}}$ $\displaystyle \int _{0} ^{7} {g \left( t \right) dt}$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {g \left( t \right) dt + \int _{3} ^{7} {g \left( t \right) dt}}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} {\frac{2}{t + 1} dt + \int _{3} ^{7} {\frac{t - 2}{2} dt}}$ $\displaystyle = \left[ 2 \ln \left| t + 1 \right| _{{}_{}} ^{{}^{}} \right] _{0} ^{3} + \left[ \frac{1}{4} t ^{2} - t \right] _{3} ^{7}$ $= 6 + 4 \ln 2$ $\therefore$(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ