대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 수 배열 합

문제

다음과 같이 규칙적으로 나열된 수가 있다.

$1$ 행	$1$
$2$ 행	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$1$
$3$ 행	$\displaystyle \frac{1}{3 ^{2}}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$1$
$4$ 행	$\displaystyle \frac{1}{3 ^{3}}$	$\displaystyle \frac{1}{3 ^{2}}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$1$
$\vdots$ $\vdots$
$10$ 행	$\displaystyle \frac{1}{3 ^{9}}$	$\displaystyle \frac{1}{3 ^{8}}$	$\displaystyle \frac{1}{3 ^{7}}$	$\cdots$ $1$

$1$ 행부터 $10$ 행까지의 수를 모두 더한 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{3}{4} \left\{ 19 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{11} \right\}$ ② $\displaystyle \frac{3}{2} \left\{ 19 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{11} \right\}$ ③ $\displaystyle \frac{3}{4} \left\{ 19 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{10} \right\}$ ④ $\displaystyle \frac{3}{2} \left\{ 19 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{10} \right\}$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{2} \left\{ 19 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{9} \right\}$

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③

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해설

[출제의도] 등비수열의 합 구하기 $n$ 행에 있는 수들의 합을 $S _{n}$ 이라 하면 $\displaystyle S _{n} = \frac{1}{3 ^{n - 1}} + \frac{1}{3 ^{n - 2}} + \cdots + \frac{1}{3} + 1$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} \right\}$ 이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} S _{k} = \frac{3}{2} \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{k} \right\}$ $\displaystyle = \frac{3}{4} \left\{ 19 + \left( \frac{1}{3} \right) ^{10} \right\}$

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