삼각형 속 정사각형 개수

[출제의도] 수열의 합을 이용하여 문제를 해결한다. 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{n + 5}{n + 4} x + n + 5$ 자연수 $a$에 대하여 $x = a$일 때 $y$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{n + 5}{n + 4} a + n + 5$ $\displaystyle = n + 5 - \left( 1 + \frac{1}{n + 4} \right) a$ $\displaystyle = n + 5 - a - \frac{a}{n + 4}$ $0 < a < n + 4$일 때, $\displaystyle 0 < \frac{a}{n + 4} < 1$이므로 $x = a$일 때, $y$좌표가 자연수인 점의 개수는 $n + 4 - a$이다.

두 자연수 $a$, $b$에 대하여 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 내부에 포함되는 한 변의 길이가 $1$이고 각 꼭짓점의 좌표가 자연수인 정사각형의 네 꼭짓점의 좌표를 각각 $\left( a , b \right)$, $\left( a + 1 , b \right)$, $\left( a + 1 , b + 1 \right)$, $\left( a , b + 1 \right)$ 이라 하면 $a = 1$일 때, $1 \leq b \leq n + 1$이므로 정사각형의 개수는 $\left( n + 1 \right)$이다. $a = 2$일 때, $1 \leq b \leq n$이므로 정사각형의 개수는 $n$이다. $a = 3$일 때, $1 \leq b \leq n - 1$이므로 정사각형의 개수는 $\left( n - 1 \right)$이다. $\vdots$ $a = n + 1$일 때, $b = 1$이므로 정사각형의 개수는 $1$이다. 따라서 $a _{n}$$= \left( n + 1 \right) + n + \left( n - 1 ) + \cdots + 1 \right.$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( n ^{2} + 3 n + 2 \right)$ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{8} {a _{n}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{n=1} ^{8} ( n ^{2} + 3 n + 2 )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{8 \times 9 \times 17}{6} + 3 \times \frac{8 \times 9}{2} + 2 \times 8 \right)$ $= 164$