삼각형 넓이와 수열 합

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 삼각형 넓이의 일반항을 구하여 그 합을 구한다. 곡선 $y = 4 ^{x}$ 위의 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( a _{n} , 4 ^{a _{n}} )$이라 하면 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt[3]{2} \times 4 ^{a _{n}} = 2 ^{- 1} \times 2 ^{\frac{1}{3}} \times 2 ^{2 a _{n}}$$\displaystyle = 2 ^{2 a _{n} - \frac{2}{3}}$ ${\triangle \mathrm{OAP}} = 4 ^{n}$이므로 $\displaystyle 2 ^{2 a _{n} - \frac{2}{3}} = 4 ^{n}$$= 2 ^{2 n}$ $\displaystyle 2 a _{n} - \frac{2}{3} = 2 n$ $\displaystyle a _{n} = n + \frac{1}{3}$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{9} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{9} \left( k + \frac{1}{3} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{9} k + \sum\limits _{k = 1} ^{9} \frac{1}{3}$$\displaystyle = \frac{9 \times 10}{2} + 9 \times \frac{1}{3}$ $= 48$