삼각형 넓이와 코사인법칙

$\mathrm{\angle} PAQ \mathit{=} \theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{7 ^{2} + 10 ^{2} - 13 ^{2}}{2 \times 7 \times 10} = - \frac{1}{7}$ $\displaystyle \cos \theta = - \frac{1}{7}$이고 $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$이므로 $\displaystyle \sin ^{2} \theta = 1 - \frac{1}{49}$ $\therefore$ $\displaystyle \sin \theta = \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ $\left( \because \sin \theta > 0 \right)$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 7 \times 10 \times \sin \theta$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 7 \times 10 \times \frac{4 \sqrt{3}}{7}$$\displaystyle = 20 \sqrt{3}$ 사각형 $\mathrm{PBCQ}$의 넓이가 $\displaystyle 14 \sqrt{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이는 $\displaystyle 6 \sqrt{3}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \overline{CQ} = \mathit{x} \left( 0 < x < 7 \right)$라 하면 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times x \times \left( 10 - x \right) \times \sin \theta = 6 \sqrt{3}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times x \times \left( 10 - x \right) \times \frac{4 \sqrt{3}}{7} = 6 \sqrt{3}$ $\left( x - 3 \right) \left( x - 7 \right) = 0$ $\therefore$ $x = 3$ 삼각형 $\mathrm{APQ}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2}$$\displaystyle = 3 ^{2} + 7 ^{2} - 2 \times 3 \times 7 \times \left( - \frac{1}{7} \right)$$= 64$