미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이의 최대

문제

닫힌 구간 [0,2][ 0 , 2 ]에서 정의된 함수 f(x)=ax(x−2)2(a>12)\displaystyle f ( x ) = ax ( x - 2 ) ^{2} \left( a > \frac{1}{2} \right) 에 대하여 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 직선 y=xy = x의 교점 중 원점 O\mathrm{O}가 아닌 점을 A\mathrm{A}라 하자. 점 P\mathrm{P}가 원점으로부터 점 A\mathrm{A}까지 곡선 y=f(x)y = f ( x ) 위를 움직일 때, 삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 넓이가 최대가 되는 점 P\mathrm{P}의 xx좌표가 12\displaystyle \frac{1}{2}이다. 상수 aa의 값은? [4점] ①54\displaystyle \frac{5}{4}②43\displaystyle \frac{4}{3}③1712\displaystyle \frac{17}{12}④32\displaystyle \frac{3}{2}⑤1912\displaystyle \frac{19}{12}

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②

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해설

삼각형 OAP\mathrm{OAP}의 넓이가 최대가 되려면 점 P\mathrm{P}에서 직선 y=xy = x까지의 거리가 최대이어야 한다. 이때, 점 P\mathrm{P}에서 접선은 직선 y=xy = x와 평행이므로 f′(x)=1f' ( x ) = 1에서 a{(x−2)2+2x(x−2)}=1a \left\{ ( x - 2 ) ^{2} + 2 x ( x - 2 ) \right\} = 1 3ax2−8ax+4a−1=03 ax ^{2} - 8 ax + 4 a - 1 = 0 이 이차방정식의 한 근이 x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}이므로 3a⋅(12)2−8a⋅12+4a−1=0\displaystyle 3 a \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} - 8 a \cdot \frac{1}{2} + 4 a - 1 = 0 34a−1=0\displaystyle \frac{3}{4} a - 1 = 0 ∴ a=43\displaystyle a = \frac{4}{3}

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