미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이비 극한

문제

그림과 같이 서로 평행한 두 직선 $l _{1}$ 과 $l _{2}$ 사이의 거리가 1이다. 직선 $l _{1}$ 위의 점 $A$ 에 대하여 직선 $l _{2}$ 위에 점 $B$ 를 선분 $AB$ 와 직선 $l _{1}$ 이 이루는 각의 크기가 $\theta$ 가 되도록 잡고, 직선 $l _{1}$ 위에 점 $C$ 를 $\angle ABC = 4 \theta$ 가 되도록 잡는다. 직선 $l _{2}$ 위에 점 $D$ 를 $\angle BCD = 2 \theta$ 이고 선분 $CD$ 가 선분 $AB$ 와 만나지 않도록 잡는다. 삼각형 $ABC$ 의 넓이를 $T _{1}$ , 삼각형 $BCD$ 의 넓이를 $T _{2}$ 라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{T _{1}}{T _{2}}}$ 의 값을 구하시오. (단. $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{10}$ ) [4점]

정답 보기

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

점 $B$ 와 점 $D$ 에서 직선 $l _{1}$ 에 내린 수선의 발을 각각 $H _{1} , H _{2}$ 라 하자. $\angle BCH _{1} = 5 \theta$ 이므로 $\angle CDB = \angle DCH _{2} = 3 \theta$ $\displaystyle \frac{T _{1}}{T _{2}} = \frac{AC}{BD} = \frac{AH _{1} - CH _{1}}{CH _{2} - CH _{1}}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1}{\tan \theta} - \frac{1}{\tan ( 5 \theta )}}{\frac{1}{\tan ( 3 \theta )} - \frac{1}{\tan ( 5 \theta )}}$ $\displaystyle = \frac{\tan ( 3 \theta )}{\tan \theta} \times \frac{1 - \frac{\tan \theta}{\tan ( 5 \theta )}}{1 - \frac{\tan ( 3 \theta )}{\tan ( 5 \theta )}}$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{T _{1}}{T _{2}} = 3 \times \frac{1 - \frac{1}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = 6$

← 전체 문제 목록으로

삼각형 넓이비 극한

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기