삼각형 넓이 조건으로 정한 수열의 합

직선 $BC$의 기울기는 $\displaystyle \frac{m}{2 ^{m} - 1}$이므로 직선 $BC$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{m}{2 ^{m} - 1} ( x - 1 )$ 따라서, 점 $D$의 좌표는 $\displaystyle \left( 2 ^{n} , \frac{m}{2 ^{m} - 1} ( 2 ^{n} - 1 ) \right)$ 삼각형 $ABD$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ( 2 ^{n} - 1 ) \frac{m}{2 ^{m} - 1} ( 2 ^{n} - 1 )$ 삼각형 $ABD$의 넓이가 $\displaystyle \frac{m}{2}$보다 작거나 같으므로 $\displaystyle \frac{1}{2} ( 2 ^{n} - 1 ) \frac{m}{2 ^{m} - 1} ( 2 ^{n} - 1 ) \leq \frac{m}{2}$ $( 2 ^{n} - 1 ) ^{2} \leq 2 ^{m} - 1$ 이때, $n = 1$이면 $1 \leq 2 ^{m} - 1 , 2 \leq 2 ^{m}$ 이므로 $a _{1} = 1$ 또한, 2이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $( 2 ^{n} - 1 ) ^{2} \leq 2 ^{2 n} - 1 \leq 2 ^{m} - 1$ 이므로 $2 n \leq m$이면 된다 $\therefore a _{1} = 1 , a _{n} = 2 n ( n \geq 2 )$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{n = 2} ^{10} 2 n = 1 + \frac{9 ( 4 + 20 )}{2} = 109$