기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이 일정한 점의 자취

문제

좌표공간에 두 점 O(0,0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 , 0 ), A(1,0,0)\mathrm{A} ( 1 , 0 , 0 )이 있고, 점 P(x,y,z)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y , z )는 △OAP\mathrm{\triangle} OAP의 넓이가 22 가 되도록 움직인다. 0≤x≤10 \leq x \leq 1일 때, 점 P\mathrm{P}의 자취가 만드는 도형을 평면 위에 펼쳤을 때의 넓이는? [1.5점] ①16π16 \pi②8π8 \pi③5π5 \pi④2π2 \pi⑤π\pi

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②

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해설

P(x,y,z)P ( x , y , z )에서 OA‾\displaystyle \overline{OA}에 내린 수선의 발을 H(a,0,0)H ( a , 0 , 0 )라 하면 OA‾=1\displaystyle \overline{OA} = 1로 일정하므로 PH‾=4\displaystyle \overline{PH} = 4 PH‾=(x−a)2+y2+z2=4\displaystyle \overline{PH} = \sqrt{( x - a ) ^{2} + y ^{2} + z ^{2}} = 4 →(x−a)2+y2+z2=16\rightarrow ( x - a ) ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 16 한편, PH⃗⊥OA⃗\vec{PH} \perp \vec{OA}이므로 (x−a,y,z)∙(1,0,0)=0( x - a , y , z ) \bullet ( 1 , 0 , 0 ) = 0 →x−a=0\rightarrow x - a = 0 ∴x=a\therefore x = a y2+z2=16y ^{2} + z ^{2} = 16 0≤x≤10 \leq x \leq 1이므로 옆면의 넓이는 2π×4×1=8π2 \pi \times 4 \times 1 = 8 \pi

태그

#원기둥#공간좌표

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