대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이 합의 시그마

문제

자연수 nn에 대하여 좌표평면 위에 세 점 (k−1,0)( k - 1 , 0 ), (k,0)( k , 0 ), (k,2)( k , 2 )를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 Ak(k=1,2,⋯ ,n)A _{k} ( k = 1 , 2 , \cdots , n )이라 하자. 직선 y=−2nx+2\displaystyle y = - \frac{2}{n} x + 2가 삼각형 AkA _{k}와 만나는 두 점을 각각 PkP _{k}, QkQ _{k}라 하고, 점 (k,2)( k , 2 )와 두 점 PkP _{k}, QkQ _{k}를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 aka _{k}라 할 때, ∑k=1n2ak=33\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 a _{k} = 33이 되도록 하는 nn의 값을 구하시오. (단, PkP _{k}의 xx좌표는 QkQ _{k}의 xx좌표보다 작다.) [4점]

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49

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해설

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-수열 Rk(k,2)R _{k} ( k , 2 )라 하자. y=−2nx+2\displaystyle y = - \frac{2}{n} x + 2에 x=kx = k를 대입하면 y=−2kn+2\displaystyle y = - \frac{2 k}{n} + 2 따라서 RkQkR _{k} Q _{k}의 길이는 2kn\displaystyle \frac{2 k}{n} 직선 RkPkR _{k} P _{k}의 방정식은 y=2(x−k+1)y = 2 ( x - k + 1 )이므로 −2nx+2=2(x−k+1)\displaystyle - \frac{2}{n} x + 2 = 2 ( x - k + 1 )에서 x=nkn+1\displaystyle x = \frac{nk}{n + 1} 따라서 PkP _{k}에서 선분 RkQkR _{k} Q _{k}에 내린 수선의 길이는 k−nkn+1=kn+1\displaystyle k - \frac{nk}{n + 1} = \frac{k}{n + 1} ak=2kn×kn+1×12=k2n(n+1)\displaystyle a _{k} = \frac{2 k}{n} \times \frac{k}{n + 1} \times \frac{1}{2} = \frac{k ^{2}}{n ( n + 1 )} ∑k=1n2ak=∑k=1n2k2n(n+1)=2n(n+1)×n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{2 k ^{2}}{n ( n + 1 )} = \frac{2}{n ( n + 1 )} \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} =2n+13=33\displaystyle = \frac{2 n + 1}{3} = 33 따라서 n=49n = 49

태그

#시그마#도형#자연수 거듭제곱의 합

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