삼각형 넓이 합 최대

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기 선분 $\mathrm{OP}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\theta$ $\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{3} \right)$라 하면 $\angle \mathrm{POR} = 2 \theta$, $\displaystyle \angle \mathrm{QOS} = \frac{5}{6} \pi - 2 \theta$이므로 (삼각형 $\mathrm{ORP}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \sin 2 \theta$, (삼각형 $\mathrm{OQS}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{5}{6} \pi - 2 \theta \right)$ (넓이의 합) $\displaystyle = \frac{1}{2} \sin 2 \theta + \frac{1}{4} \cos 2 \theta + \frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 \theta$ $\displaystyle = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \sin 2 \theta + \frac{1}{4} \cos 2 \theta$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin \left( 2 \theta + \alpha \right)$ (단, $\displaystyle \cos \alpha = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$, $\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$) $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \alpha < 2 \theta + \alpha < \frac{2}{3} \pi + \alpha$이고 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle 2 \theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$일 때, 최댓값 $\displaystyle \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$를 갖는다.