미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이 구분구적

문제

함수 f(x)=−4x2+12x+16f ( x ) = - 4 x ^{2} + 12 x + 16이 있다. 22 이상의 자연수 nn에 대하여 닫힌 구간 [1,3][ 1 , 3 ]을 nn등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 1=x01 = x _{0}, x1x _{1}, x2x _{2}, ⋯, xn−1x _{n-1}, xnx _{n}=3= 3 이라 하자. 세 점 (0,0)( 0 , 0 ), (xk,0)( x _{k} , 0 ), (xk,f(xk))( x _{k} , f ( x _{k} ) )를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 AkA _{k}(k=1k = 1, 22, ⋯, nn)이라 할 때, lim⁡n→∞4n∑k=1nAk\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{4}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} A _{k}의 값을 구하시오. [4점]

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8888

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해설

xk−xk−1=2n\displaystyle x _{k} - x _{k-1} = \frac{2}{n}( k=k =11, 22, ⋯, nn) AkA _{k}=12xkf(xk)\displaystyle = \frac{1}{2} x _{k} f ( x _{k} ) =12(1+2kn)f(1+2kn)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) f \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) ∴ lim⁡n→∞4n∑k=1nAk\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{4}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} A _{k}=lim⁡n→∞2n∑k=1n(1+2kn)f(1+2kn)\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{2}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) f \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) =∫13xf(x)dx\displaystyle = \int _{1} ^{3} x f ( x ) dx=∫13(−4x3+12x2+16x)dx\displaystyle = \int _{1} ^{3} ( - 4 x ^{3} + 12 x ^{2} + 16 x ) dx =[−x4+4x3+8x2]13\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - x ^{4} + 4 x ^{3} + 8 x ^{2} \end{array} \right] _{1} ^{3} =88= 88

태그

#구분구적법#정적분

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