삼각형 넓이 극한

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 점$Q$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 직각삼각형의 닮음에서 $\displaystyle {\overline{OQ}} ^{2} = {\overline{OH}} \times {\overline{OP}}$ 이므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2} t} \right) ^{2} = {\overline{OH}} \times \left( t + \frac{1}{t} \right)$ $\displaystyle \therefore {\overline{OH}} = \frac{1}{2 t ( t ^{2} + 1 )}$ $\displaystyle {\overline{OR}} = \frac{1}{\sqrt{2} t}$ $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2} t} \times \frac{1}{2 t ( t ^{2} + 1 )} = \frac{\sqrt{2}}{8 \left( t ^{4} + t ^{2} \right)}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\left\{ t ^{4} \times S \left( t \right) \right\} = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{2} t ^{4}}{8 \left( t ^{4} + t ^{2} \right)}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\sqrt{2}}{8 \left( 1 + \frac{1}{t ^{2}} \right)}}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{8}$