삼각형 넓이 극한

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한 문제를 해결한다.

$\mathrm{\angle} PBO =$$\theta$이므로 $\angle \mathrm{PAO} = 2 \theta$이다. 점 $P ( 3 + 3 \cos ( \pi - 2 \theta ) , 3 \sin ( \pi - 2 \theta ) ) = ( 3 - 3 \cos 2 \theta , 3 \sin 2 \theta )$ 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HO}}} = 3 - 3 \cos 2 \theta$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = 3 \tan 2 \theta$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} = 6 \tan \theta$ $\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{RQ}}} \times {\overline{\mathrm{HO}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( \overline{OQ} - \overline{OR} ) \times \overline{HO}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( 3 \tan 2 \theta - 6 \tan \theta ) ( 3 - 3 \cos 2 \theta )$ $\displaystyle = \frac{9}{2} ( \tan 2 \theta - 2 \tan \theta ) ( 1 - \cos 2 \theta )$ $\displaystyle = 9 \left( \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan ^{2} \theta} - 2 \tan \theta \right) \sin ^{2} \theta$ $\displaystyle = \frac{18 \tan ^{3} \theta \sin ^{2} \theta}{1 - \tan ^{2} \theta}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{5}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{18 \tan ^{3} \theta \sin ^{2} \theta}{\theta ^{5} ( 1 - \tan ^{2} \theta )}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left( \frac{18}{1 - \tan ^{2} \theta} \times \frac{\tan ^{3} \theta}{\theta ^{3}} \times \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \right)}$ $= 18 \times 1 \times 1 = 18$