삼각형 넓이 극한

[출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구한다. 그림에서 삼각형 $\mathrm{ABQ}$와 삼각형 $\mathrm{OBR}$는 닮음비가 $2 : 1$인 닮은 삼각형이다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{QB}} = 2 \tan \theta$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = \frac{1}{2} \overline{QB}$$= \tan \theta$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}$$\displaystyle = \frac{2}{\cos \theta}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 2 \cos \theta$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QP}} = \overline{AQ} - \overline{AP}$ $\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta \right)$ 이때 $\mathrm{\angle} AQB$$\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \theta$이므로 $S ( \theta )$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \overline{QR} \times \overline{QP} \times \sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \tan \theta \times 2 \left( \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta \right) \times \cos \theta$ $= \tan \theta ( 1 - \cos ^{2} \theta )$ $= \tan \theta \sin ^{2} \theta$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{\tan \theta \sin ^{2} \theta}{\theta ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{\tan \theta}{\theta} \times \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) ^{2}$ $= 1 \times 1 ^{2}$ $= 1$ [다른 풀이] 그림과 같이 반원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자.

$\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\angle \mathrm{PBR} = \theta$이다. 원 밖의 한 점 $\mathrm{R}$에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{RB}}$이고 $\angle \mathrm{RPB} = \theta$이다. $\displaystyle \angle \mathrm{PQR} = \angle \mathrm{QPR} = \frac{\pi}{2} - \theta$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{QR}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}} = 2 \tan \theta$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}} = \overline{\mathrm{RB}} = \overline{\mathrm{QR}} = \tan \theta$ 이때 $\angle \mathrm{PRQ} = 2 \theta$이므로 $\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \tan \theta \tan \theta \sin 2 \theta = \frac{1}{2} \tan ^{2} \theta \sin 2 \theta$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{\tan ^{2} \theta \sin 2 \theta}{2 \theta ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{\tan \theta \cdot \tan \theta \cdot \sin 2 \theta}{\theta \cdot \theta \cdot 2 \theta}$ $= 1$