미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 위의 점 C\mathrm{C}를 ⌢AC=⌢BC\frown {\mathrm{AC}} = \frown {\mathrm{BC}}가 되도록 잡는다. 호 BC\mathrm{BC} 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 AP\mathrm{AP}와 선분 BC\mathrm{BC}가 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하고, ∠PAB=θ\angle \mathrm{PAB} = \theta라 하자. 삼각형 BPQ\mathrm{B} P Q의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→+0S(θ)θ2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{2}}의 값은? (단,0<θ<π4)\displaystyle \left( \text{단} , 0 < \theta < \frac{\pi}{4} \right) [4점]

①22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}②11③2\displaystyle \sqrt{2}④22⑤22\displaystyle 2 \sqrt{2}

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④

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해설

[출제의도] 여러 가지 함수의 극한을 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다. AB‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2이고 ∠APB=π2\displaystyle \angle \mathrm{A} PB = \frac{\pi}{2}이므로 PB‾=2sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = 2 \sin \theta ∠QBP=π2−∠PQB=π2−θ−π4=π4−θ\displaystyle \angle \mathrm{QBP} = \frac{\pi}{2} - \angle \mathrm{PQB} = \frac{\mathit{\pi}}{2} - \theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \theta ∴ PQ‾=PB‾⋅tan⁡(π4−θ)=2sin⁡θ⋅tan⁡(π4−θ)\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{P} B} \cdot \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = 2 \sin \theta \cdot \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) S(θ)=12⋅2sin⁡θ⋅2sin⁡θ⋅tan⁡(π4−θ)=2sin⁡2θtan⁡(π4−θ)\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \theta \cdot 2 \sin \theta \cdot \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = 2 \sin ^{2} \theta \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) lim⁡θ→+0S(θ)θ2=lim⁡θ→+02sin⁡2θtan⁡(π4−θ)θ2=lim⁡θ→+02tan⁡(π4−θ)=2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{2}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{2 \sin ^{2} \theta \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right)}{\theta ^{2}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} 2 \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = 2

태그

#삼각함수의 극한#도형

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