미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 1이고 중심이 점 OO인 원이 있다. 원 밖의 한 점 PP에서 원에 그은 한 접선의 접점을 TT라 하자. 선분 POPO의 연장선이 원과 만나는 점을 AA라 하고, ∠APT=θ\angle APT = \theta라 하자. △APT\triangle APT의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→π2−0S(θ)θ−π2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} - 0} {\frac{S ( \theta )}{\theta - \frac{\pi}{2}}}의 값은? [4점]

①-1②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③0④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤1

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①

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해설

S(θ)=12cot⁡θ+12sin⁡(π2+θ)=12cot⁡θ+12cos⁡θ\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \cot \theta + \frac{1}{2} \sin ( \frac{\pi}{2} + \theta ) = \frac{1}{2} \cot \theta + \frac{1}{2} \cos \theta 이므로 lim⁡θ→π2−012(cot⁡θ+cos⁡θ)θ−π2=lim⁡θ→t+012{cot⁡(π2−t)+cos⁡(π2−t)}−t\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} - 0} {\frac{\frac{1}{2} ( \cot \theta + \cos \theta )}{\theta - \frac{\pi}{2}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow t + 0} {\frac{\frac{1}{2} \left\{ \cot ( \frac{\pi}{2} - t ) + \cos ( \frac{\pi}{2} - t ) \right\}}{- t}}} =−12lim⁡t→0+tan⁡t+sin⁡tt=−1\displaystyle = - \frac{1}{2} \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\tan t + \sin t}{t} = - 1}

태그

#삼각함수 극한#도형

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