미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 중심이 O\mathrm{O}이고 길이가 88인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 위에 점 P\mathrm{P}가 있다. 점 A\mathrm{A}를 지나고 직선 OP\mathrm{OP}에 수직인 직선이 반원과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. ∠PAO=θ\mathrm{\angle} PAO = \theta (π4<θ<π2\displaystyle \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2})일 때, 삼각형 AOQ\mathrm{AOQ}의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 하자. lim⁡θ→π4+0S(θ)θ−π4\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} + 0} {} \frac{S ( \theta )}{\theta - \frac{\pi}{4}}의 값을 구하시오. [4점]

θ\mathrm{\theta}

정답 보기
32

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 삼각형 OPA\mathrm{OPA}가 OA‾=OP‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \overline{OP}인 이등변삼각형이므로 ∠PAO=\mathrm{\angle} PAO =∠APO=θ\mathrm{\angle} APO = \mathit{\theta}, ∠AOP=π−2θ\mathrm{\angle} AOP = \mathit{\pi} - 2 \theta 삼각형 AOQ\mathrm{AOQ}에서 ∠AOQ=2∠AOP\mathrm{\angle} AOQ = 2 \angle AOP이므로 ∠AOQ=2π−4θ\mathrm{\angle} AOQ = 2 \pi - 4 \theta이고, OA‾=OQ‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \overline{OQ} = 4 S(θ)=12×42×sin⁡(2π−4θ)\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \times 4 ^{2} \times \sin ( 2 \pi - 4 \theta )=8sin⁡(2π−4θ)= 8 \sin ( 2 \pi - 4 \theta ) θ−π4=t\displaystyle \theta - \frac{\pi}{4} = t라 하면, θ→π4+0\displaystyle \theta \rightarrow \frac{\pi}{4} + 0일 때 t→+0t \rightarrow + 0이므로 lim⁡θ→π4+0S(θ)θ−π4\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} + 0} {} \frac{S ( \theta )}{\theta - \frac{\pi}{4}}=lim⁡θ→π4+08sin⁡(2π−4θ)θ−π4\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} + 0} {} \frac{8 \sin ( 2 \pi - 4 \theta )}{\theta - \frac{\pi}{4}} =lim⁡t→+08sin⁡(π−4t)t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {} \frac{8 \sin \left( \pi - 4 t \right)}{t}=lim⁡t→+08sin⁡4tt\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow + 0} {} \frac{8 \sin 4 t}{t}=32= 32 따라서 lim⁡θ→π4+0S(θ)θ−π4=32\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4} + 0} {} \frac{S ( \theta )}{\theta - \frac{\pi}{4}} = 32

태그

#삼각함수 극한#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로