삼각형 넓이 최솟값

[출제의도] 절대부등식 문제 해결하기 $\mathrm{A} \mathit{\left( a , 0 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( 0 , b \right)}$라 하고 $a$, $b$의 값을 구하기 위해 직선의 식에 각각 대입하면 $0 = ma + 2 m + 3$에서 $\displaystyle a = \frac{- 2 m - 3}{m} = \frac{- 3}{m} - 2 < 0$ $b = m \times 0 + 2 m + 3$에서 $b = 2 m + 3 > 0$ 따라서 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{m} + 2 \right) \times \left( 2 m + 3 \right) = \frac{1}{2} \times \left( 6 + \frac{9}{m} + 4 m + 6 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 4 m + \frac{9}{m} + 12 \right)$$\displaystyle \geq \frac{1}{2} \left( 2 \sqrt{4 m \times \frac{9}{m}} + 12 \right)$ $= 6 + 6 = 12$ (단, 등호는 $\displaystyle 4 m = \frac{9}{m}$, 즉 $\displaystyle m = \frac{3}{2}$일 때 성립한다.) 따라서 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이의 최솟값은 $12$이다.