공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이 최솟값

문제

유리함수 y=1x(x>0)\displaystyle y = \frac{1}{x} ( x > 0 ) 위의 임의의 점 P\mathrm{P}와 점 Q(−1,0)\mathrm{Q} ( - 1 , 0 ), R(0,−4)\mathrm{R} ( 0 , - 4 )를 꼭짓점으로 하는 △PQR\mathrm{\triangle} PQR의 넓이의 최솟값은? [3점]

R(0,−4)\mathrm{R} ( 0 , - 4 ) Q(−1,0)\mathrm{Q} ( - 1 , 0 ) y=1x\displaystyle y = \frac{1}{x}

①44②66③88④1010⑤1212

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①

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해설

[출제의도] 유리함수와 직선 사이의 최단거리 구하기 직선 QR\mathrm{QR}의 방정식은 4x+y+4=04 x + y + 4 = 0이고, 점 P(a,1a)\displaystyle {\mathrm{P}} \left( a , \frac{1}{a} \right)에서 직선 QR\mathrm{QR}까지의 거리 hh는 h=∣4a+1a+4∣17\displaystyle h = \frac{\left| 4 a + \frac{1}{a} + 4 \right|}{\sqrt{17}} aa는 양수이므로 4a+1a≥24a1a=4\displaystyle 4 a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{4 a \frac{1}{a}} = 4 따라서 h=∣4a+1a+4∣17≥817\displaystyle h = \frac{\left| 4 a + \frac{1}{a} + 4 \right|}{\sqrt{17}} \geq \frac{8}{\sqrt{17}}이다. ∴△PQR\mathrm{\therefore} \triangle PQR의 넓이의 최솟값은 12×17×817=4\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times \frac{8}{\sqrt{17}} = 4

태그

#점과 직선 사이의 거리#산술기하평균

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