삼각형 넓이 최대

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 추론하기 이차방정식 $x ^{2} - \left( a + 4 \right) x + 3 a + 3$$= \left( x - 3 \right) \left\{ x - \left( a + 1 \right) \right\} = 0$의 근은 $x = 3$, $x = a + 1$이다. $0 < a < 2$이므로 $\mathrm{A} \mathit{\left( a + 1 , 0 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( 3 , 0 \right)}$, $\mathrm{C} \mathit{\left( 0 , 3 a + 3 \right)}$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 밑변의 길이 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \mathit{2} - a$이고, 높이 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = 3 a + 3$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 2 - a \right) \left( 3 a + 3 \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2} \left( a - 2 \right) \left( a + 1 \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2} \left( a ^{2} - a - 2 \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2} \left( a - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{27}{8}$이다. 따라서 $0 < a < 2$에서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \frac{27}{8}$이다.