대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

삼각형 넓이 빈칸

문제

0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}인 임의의 실수 θ\theta에 대하여 그림과 같이 AB‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 3, ∠ABC=θ\angle {\mathrm{ABC}} = \theta, ∠CAB=3θ\angle {\mathrm{CAB}} = 3 \theta인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 BC\mathrm{BC} 위에 점 D\mathrm{D}를 ∠DAC=θ\angle {\mathrm{DAC}} = \theta가 되도록 잡고, 선분 AC\mathrm{AC} 위에 점 E\mathrm{E}를 ∠EDC=θ\angle {\mathrm{EDC}} = \theta가 되도록 잡는다. 다음은 삼각형 ADE\mathrm{ADE}의 넓이 S(θ)S \left( \theta \right)를 구하는 과정이다.

∠ABC=θ\angle {\mathrm{ABC}} = \theta, ∠DAB=2θ\angle {\mathrm{DAB}} = 2 \theta이므로 ∠BDA=π−3θ\angle {\mathrm{BDA}} = \pi - 3 \theta이다. 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 사인법칙에 의하여 AD‾sin⁡θ=AB‾□(가)\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\sin {\theta}} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\square {( \text{가} )}} 이므로 AD‾=3sin⁡θ□(가)\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \frac{3 \sin {\theta}}{\square {( \text{가} )}}이다. 또한 ∠ADE=2θ\angle {\mathrm{ADE}} = 2 \theta이므로 DE‾=□(나)×AD‾2\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = \square {( \text{나} )} \times {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} 이다. 따라서 삼각형 ADE\mathrm{ADE}의 넓이 S(θ)S \left( \theta \right)는 S(θ)=92×(sin⁡θsin⁡3θ)3×□(다)\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{9}{2} \times \left( \frac{\sin {\theta}}{\sin {3 \theta}} \right) ^{3} \times {\square {( \text{다} )}} 이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 f(θ)f \left( \theta \right), g(θ)g \left( \theta \right)라 하고, (나)에 알맞은 수를 pp라 할 때, p×f(π6)×g(π12)\displaystyle p {\times} f \left( \frac{\pi}{6} \right) \times {g \left( \frac{\pi}{12} \right)}의 값은? [4점] ①112\displaystyle \frac{1}{12}②16\displaystyle \frac{1}{6}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤512\displaystyle \frac{5}{12}

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②

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해설

[출제의도] 사인법칙을 이용하여 삼각형의 넓이를 추론하기 ∠ABC=θ\angle {\mathrm{ABC}} = \theta, ∠DAB=2θ\angle {\mathrm{DAB}} = 2 \theta이므로 ∠BDA=π−3θ\angle {\mathrm{BDA}} = \pi - 3 \theta이다. 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 사인법칙에 의하여 AD‾sin⁡θ=AB‾□sin⁡(π−3θ)\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AD}}}}{\sin {\theta}} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\square {\sin \left( \pi - 3 \theta \right)}} 이므로 AD‾=3sin⁡θ□sin⁡(π−3θ)\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \frac{3 \sin {\theta}}{\square {\sin \left( \pi - 3 \theta \right)}}이다. 또한 ∠EAD=θ\angle {\mathrm{EAD}} = \theta이고 ∠ADE=2θ\angle {\mathrm{ADE}} = 2 \theta이므로 ∠DEA=π−3θ\angle {\mathrm{DEA}} = \pi - 3 \theta이다. 삼각형 ADE\mathrm{ADE}에서 사인법칙에 의하여 DE‾sin⁡θ=AD‾sin⁡(π−3θ)×AD‾=□13×AD‾2\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{DE}}}{\sin {\theta}} = \frac{\overline{\mathrm{AD}}}{\sin \left( \pi - 3 \theta \right)} \times {\overline{\mathrm{AD}}} = \square {\frac{1}{3}} \times {\overline{\mathrm{AD}}} ^{2} 이다. 따라서 삼각형 ADE\mathrm{ADE}의 넓이 S(θ)S \left( \theta \right)는 S(θ)=12×AD‾×DE‾×sin⁡(∠ADE)\displaystyle S \left( \theta \right) = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{DE}}} \times {\sin \left( \angle \mathrm{ADE} \right)} =16×{3sin⁡θsin⁡(π−3θ)}3×sin⁡2θ\displaystyle = \frac{1}{6} \times \left\{ \frac{3 \sin \theta}{\sin \left( \pi - 3 \theta \right)} \right\} ^{3} \times \sin 2 \theta =92×(sin⁡θsin⁡3θ)3×□sin⁡2θ\displaystyle = \frac{9}{2} \times \left( \frac{\sin \theta}{\sin 3 \theta} \right) ^{3} \times {\square {\sin 2 \theta}} 이다. f(θ)=sin⁡(π−3θ)\left. f \left( \theta \right) = \sin \left( \pi - 3 \theta \right) \right., g(θ)=sin⁡2θg \left( \theta \right) = \sin 2 \theta, p=13\displaystyle p = \frac{1}{3}이므로 p×f(π6)×g(π12)=13×sin⁡π2×sin⁡π6=16\displaystyle {p} \times {f \left( \frac{\pi}{6} \right)} \times {g \left( \frac{\pi}{12} \right)} = \frac{1}{3} \times {\sin \frac{\pi}{2}} \times {\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{6}

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#사인법칙#빈칸 추론

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